年全国中考二次函数压轴题集锦附详细答案.docx

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文本预览: Last revised by LE LE in 2021 Last revised by LE LE in 2021年全国中考二次函数压轴题集锦附详细答案1.如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,OA=1,OC=4,抛物线y=x2+bx+c经过A,B两点.(1)求抛物线的解析式;(2)点E是直角△ABC斜边AB上一动点(点A、B除外),过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,当线段EF的长度最大时,求点E、F的坐标;(3)在(2)的条件下:在抛物线上是否存在一点P,使△EFP是以EF为直角边的直角三角形若存在,请求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.2.如图,关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3),抛物线的对称轴与x轴交于点D.(1)求二次函数的表达式;(2)在y轴上是否存在一点P,使△PBC为等腰三角形若存在.请求出点P的坐标;(3)有一个点M从点A出发,以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动,另一个点N从 点D与点M同时出发,以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动,当点M到达点B时,点M、N同时停止运动,问点M、N运动到何处时,△MNB面积最大,试求出最大面积.3.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(﹣1,0)、B(4,0)、C(0,2)三点.(1)求该二次函数的解析式;(2)点D是该二次函数图象上的一点,且满足∠DBA=∠CAO(O是坐标原点),求点D的坐标;(3)点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点,连接PA分别交BC、y轴于点E、F,若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2,求S1﹣S2的最大值.4.如图1,已知二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的图象过点O(0,0)和点A(4,0),函数图象最低点M的纵坐标为﹣,直线l的解析式为y=x.(1)求二次函数的解析式;(2)直线l沿x轴向右平移,得直线l′,l′与线段OA相交于点B,与x轴下方的抛物线相交于点C,过点C作CE⊥x轴于点E,把△BCE沿直线l′折叠,当点E恰好落在抛物线上点E′时(图2),求直线l′的解析式;(3)在(2)的条件下,l′与y轴交于点N,把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′,P为l′上的动点,当△PB′N′为等腰三角形时,求符合条件的点P的坐标.5.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A(﹣1,0),B(5,0)两点.(1)求抛物线的解析式;(2)在第二象限内取一点C,作CD垂直X轴于点D,链接AC,且AD=5,CD=8,将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位,当点C落在抛物线上时,求m的值;(3)在(2)的条件下,当点C第一次落在抛物线上记为点E,点P是抛物线对称轴上一点.试探究:在抛物线上是否存在点Q,使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形若存在,请出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.6.如图1,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,抛物线y=﹣x2﹣x+8与x轴正半轴交于点A,与y轴交于点B,连接AB,点M,N分别是OA,AB的中点,Rt△CDE≌Rt△ABO,且△CDE始终保持边ED经过点M,边CD经过点N,边DE与y轴交于点H,边CD与y轴交于点G.(1)填空:OA的长是   ,∠ABO的度数是   度;(2)如图2,当DE∥AB,连接HN.①求证:四边形AMHN是平行四边形;②判断点D是否在该抛物线的对称轴上,并说明理由;(3)如图3,当边CD经过点O时,(此时点O与点G重合),过点D作DQ∥OB,交AB延长线上于点Q,延长ED到点K,使DK=DN,过点K作KI∥OB,在KI上取一点P,使得∠PDK=45°(点P,Q在直线ED的同侧),连接PQ,请直接写出PQ的长.7.如图,抛物线y=x2+x+c与x轴的负半轴交于点A,与y轴交于点B,连结AB,点C(6,)在抛物线上,直线AC与y轴交于点D.(1)求c的值及直线AC的函数表达式;(2)点P在x轴正半轴上,点Q在y轴正半轴上,连结PQ与直线AC交于点M,连结MO并延长交AB于点N,若M为PQ的中点.①求证:△APM∽△AON;②设点M的横坐标为m,求AN的长(用含m的代数式表示).8.抛物线y=4x2﹣2ax+b与x轴相交于A(x1,0),B(x2,0)(0<x1<x2)两点,与y轴交于点C.(1)设AB=2,tan∠ABC=4,求该抛物线的解析式;(2)在(1)中,若点D为直线BC下方抛物线上一动点,当△BCD的面积最大时,求点D的坐标;(3)是否存在整数a,b使得1<x1<2和1<x2<2同时成立,请证明你的结论.9.如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),直线l与抛物线交于A,C两点,其中点C的横坐标为2.(1)求A,B两点的坐标及直线AC的函数表达式;(2)P是线段AC上的一个动点(P与A,C不重合),过P点作y轴的平行线交抛物线于点E,求△ACE面积的最大值;(3)若直线PE为抛物线的对称轴,抛物线与y轴交于点D,直线AC与y轴交于点Q,点M为直线PE上一动点,则在x轴上是否存在一点N,使四边形DMNQ的周长最小若存在,求出这个最小值及点M,N的坐标;若不存在,请说明理由.(4)点H是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、H四个点为顶点的四边形是平行四边形如果存在,请直接写出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由.10.如图,Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中,直角边OA与x轴重合,∠OAB=90°,OA=4,AB=2,把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°,点B旋转到点C的位置,一条抛物线正好经过点O,C,A三点.(1)求该抛物线的解析式;(2)在x轴上方的抛物线上有一动点P,过点P作x轴的平行线交抛物线于点M,分别过点P,点M作x轴的垂线,交x轴于E,F两点,问:四边形PEFM的周长是否有最大值如果有,请求出最值,并写出解答过程;如果没有,请说明理由.(3)如果x轴上有一动点H,在抛物线上是否存在点N,使O(原点)、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形若存在,求出N点的坐标;若不存在,请说明理由.11.如图(1),在平面直角坐标系中,矩形ABCO,B点坐标为(4,3),抛物线y=x2+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C,D为BC的中点,直线AD与y轴交于E点,与抛物线y=x2+bx+c交于第四象限的F点.(1)求该抛物线解析式与F点坐标;(2)如图(2),动点P从点C出发,沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动;同时,动点M从点A出发,沿线段AE以每秒个单位长度的速度向终点E运动.过点P作PH⊥OA,垂足为H,连接MP,MH.设点P的运动时间为t秒.①问EP+PH+HF是否有最小值如果有,求出t的值;如果没有,请说明理由.②若△PMH是等腰三角形,请直接写出此时t的值.12.如图,已知直线y=kx﹣6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A,B两点,且点A(1,﹣4)为抛物线的顶点,点B在x轴上.(1)求抛物线的解析式;(2)在(1)中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P,使△POB与△POC全等若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若点Q是y轴上一点,且△ABQ为直角三角形,求点Q的坐标.13.如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线l:与x轴、y轴分别交于点A和点B(0,﹣1),抛物线经过点B,且与直线l的另一个交点为C(4,n).(1)求n的值和抛物线的解析式;(2)点D在抛物线上,且点D的横坐标为t(0<t<4).DE∥y轴交直线l于点E,点F在直线l上,且四边形DFEG为矩形(如图2).若矩形DFEG的周长为p,求p与t的函数关系式以及p的最大值;(3)M是平面内一点,将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后,得到△A1O1B1,点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1.若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上,请直接写出点A1的横坐标.14.如图,四边形ABCD是边长为4的正方形,动点P、Q同时从A点出发,点P沿AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动.点Q沿折线ADC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动,设运动时间为t秒.(1)当t=2秒时,求证:PQ=CP;(2)当2<t≤4时,等式“PQ=CP”仍成立吗试说明其理由;(3)设△CPQ的面积为S,那么S与t之间的函数关系如何并问S的值能否大于正方形ABCD面积的一半为什么15.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求直线BC的解析式;(2)点D是线段BC中点,点E是BC上方抛物线上一动点,连接CE,DE.当△CDE的面积最大时,过点E作y轴垂线,垂足为F,点P为线段EF上一动点,将△CEF绕点C沿顺时针方向旋转90°,点F,P,E的对应点分别是F′,P′,E′,点Q从点P出发,先沿适当的路径运动到点F′处,再沿F′C运动到点C处,最后沿适当的路径运动到点P′处停止.求△CDE面积的最大值及点Q经过的最短路径的长;(3)如图2,直线BH经过点B与y轴交于点H(0,3)动点M从O出发沿OB方向以每秒1个单位长度向点B运动,同时动点N从B点沿BH方向以每秒2个单位长度的速度向点H运动,当点N运动到H点时,点M,点N同时停止运动,设运动时间为t.运动过程中,过点N作OB的平行线交y轴于点I,连接MI,MN,将△MNI沿NI翻折得△M′NI,连接HM′,当△M′HN为等腰三角形时,求t的值.16.如图1,直线与x轴、y轴分别交于B、C两点,经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点坐标为A(﹣1,0).(1)求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式;(2)P在线段BC上的一个动点(与B、C不重合),过点P作直线a∥y轴,交抛物线于点E,交x轴于点F,设点P的横坐标为m,△BCE的面积为S.①求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;②求S的最大值,并判断此时△OBE的形状,说明理由;(3)过点P作直线b∥x轴(图2),交AC于点Q,那么在x轴上是否存在点R,使得△PQR为等腰直角三角形若存在,请求出点R的坐标;若不存在,请说明理由.17.已知正方形OABC的边OC、OA分别在x、y轴的正半轴上,点B坐标为(10,10),点P从O出发沿O→C→B运动,速度为1个单位每秒,连接AP.设运动时间为t.(1)若抛物线y=﹣(x﹣h)2+k经过A、B两点,求抛物线函数关系式;(2)当0≤t≤10时,如图1,过点O作OH⊥AP于点H,直线OH交边BC于点D,连接AD,PD,设△APD的面积为S,求S的最小值;(3)在图2中以A为圆心,OA长为半径作⊙A,当0≤t≤20时,过点P作PQ⊥x轴(Q在P的上方),且线段PQ=t+12:①当t在什么范围内,线段PQ与⊙A只有一个公共点当t在什么范围内,线段PQ与⊙A有两个公共点②请将①中求得的t的范围作为条件,证明:当t取该范围内任何值时,线段PQ与⊙A总有两个公共点.18.如图,二次函数y=x2﹣4x的图象与x轴、直线y=x的一个交点分别为点A、B,CD是线段OB上的一动线段,且CD=2,过点C、D的两直线都平行于y轴,与抛物线相交于点F、E,连接EF.(1)点A的坐标为   ,线段OB的长=   ;(2)设点C的横坐标为m①当四边形CDEF是平行四边形时,求m的值;②连接AC、AD,求m为何值时,△ACD的周长最小,并求出这个最小值.19.如图,已知二次函数y=﹣x2+bx+c(c>0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且OB=OC=3,顶点为M.(1)求二次函数的解析式;(2)点P为线段BM上的一个动点,过点P作x轴的垂线PQ,垂足为Q,若OQ=m,四边形ACPQ的面积为S,求S关于m的函数解析式,并写出m的取值范围;(3)探索:线段BM上是否存在点N,使△NMC为等腰三角形如果存在,求出点N的坐标;如果不存在,请说明理由.20.如图,抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A,B两点,交x轴于D,C两点,连接AC,BC,已知A(0,3),C(3,0).(Ⅰ)求抛物线的解析式和tan∠BAC的值;(Ⅱ)在(Ⅰ)条件下:(1)P为y轴右侧抛物线上一动点,连接PA,过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q,问:是否存在点P使得以A,P,Q为顶点的三角形与△ACB相似若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.(2)设E为线段AC上一点(不含端点),连接DE,一动点M从点D出发,沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点,再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止,当点E的坐标是多少时,点M在整个运动中用时最少21.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为B(2,1),且过点A(0,2),直线y=x与抛物线交于点D,E(点E在对称轴的右侧),抛物线的对称轴交直线y=x于点C,交x轴于点G,EF⊥x轴,垂足为F,点P在抛物线上,且位于对称轴的右侧,PQ⊥x轴,垂足为点Q,△PCQ为等边三角形(1)求该抛物线的解析式;(2)求点P的坐标;(3)求证:CE=EF;(4)连接PE,在x轴上点Q的右侧是否存在一点M,使△CQM与△CPE全等若存在,试求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.[注:3+2=(+1)2].22.阅读理解抛物线y=x2上任意一点到点(0,1)的距离与到直线y=﹣1的距离相等,你可以利用这一性质解决问题.问题解决如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx+1与y轴交于C点,与函数y=x2的图象交于A,B两点,分别过A,B两点作直线y=﹣1的垂线,交于E,F两点.(1)写出点C的坐标,并说明∠ECF=90°;(2)在△PEF中,M为EF中点,P为动点.①求证:PE2+PF2=2(PM2+EM2);②已知PE=PF=3,以EF为一条对角线作平行四边形CEDF,若1<PD<2,试求CP的取值范围.23.已知抛物线经过A(﹣3,0),B(1,0),C(2,)三点,其对称轴交x轴于点H,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点C,与抛物线交于另一点D(点D在点C的左边),与抛物线的对称轴交于点E.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,当S△EOC=S△EAB时,求一次函数的解析式;(3)如图2,设∠CEH=α,∠EAH=β,当α>β时,直接写出k的取值范围.24.如图1,已知直线EA与x轴、y轴分别交于点E和点A(0,2),过直线EA上的两点F、G分别作x轴的垂线段,垂足分别为M(m,0)和N(n,0),其中m<0,n>0.(1)如果m=﹣4,n=1,试判断△AMN的形状;(2)如果mn=﹣4,(1)中有关△AMN的形状的结论还成立吗如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由;(3)如图2,题目中的条件不变,如果mn=﹣4,并且ON=4,求经过M、A、N三点的抛物线所对应的函数关系式;(4)在(3)的条件下,如果抛物线的对称轴l与线段AN交于点P,点Q是对称轴上一动点,以点P、Q、N为顶点的三角形和以点M、A、N为顶点的三角形相似,求符合条件的点Q的坐标.25.如图,二次函数与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点P从A点出发,以1个单位每秒的速度向点B运动,点Q同时从C点出发,以相同的速度向y轴正方向运动,运动时间为t秒,点P到达B点时,点Q同时停止运动.设PQ交直线AC于点G.(1)求直线AC的解析式;(2)设△PQC的面积为S,求S关于t的函数解析式;(3)在y轴上找一点M,使△MAC和△MBC都是等腰三角形.直接写出所有满足条件的M点的坐标;(4)过点P作PE⊥AC,垂足为E,当P点运动时,线段EG的长度是否发生改变,请说明理由.26.如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图象与x轴交于A(﹣1,0)、B(3,0)两点,顶点为C.(1)求此二次函数解析式;(2)点D为点C关于x轴的对称点,过点A作直线l:交BD于点E,过点B作直线BK∥AD交直线l于K点.问:在四边形ABKD的内部是否存在点P,使得它到四边形ABKD四边的距离都相等若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在(2)的条件下,若M、N分别为直线AD和直线l上的两个动点,连结DN、NM、MK,求DN+NM+MK和的最小值.27.如图,已知在平面直角坐标系xOy中,直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=AB=2,OC=3,过点B作BD⊥BC,交OA于点D.将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F.(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;(2)当BE经过(1)中抛物线的顶点时,求CF的长;(3)在抛物线的对称轴上取两点P、Q(点Q在点P的上方),且PQ=1,要使四边形BCPQ的周长最小,求出P、Q两点的坐标.28.如图,已知抛物线与x轴交于点A(﹣2,0),B(4,0),与y轴交于点C(0,).(1)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标;(2)设直线CD交x轴于点E,过点B作x轴的垂线,交直线CD于点F,在直线CD的上方,y轴及y轴的右侧的平面内找一点G,使以点G、F、C为顶点的三角形与△COE相似,请直接写出符合要求的点G的坐标;(3)如图,抛物线的对称轴与x轴的交点M,过点M作一条直线交∠ADB于T,N两点,①当∠DNT=90°时,直接写出的值;②当直线TN绕点M旋转时,试说明:△DNT的面积S△DNT=DN?DT;并猜想:的值是否是定值说明理由.29.如图①,Rt△ABC中,∠B=90°∠CAB=30°,AC⊥x轴.它的顶点A的坐标为(10,0),顶点B的坐标为,点P从点A出发,沿A→B→C的方向匀速运动,同时点Q从点D(0,2)出发,沿y轴正方向以相同速度运动,当点P到达点C时,两点同时停止运动,设运动的时间为t秒.(1)求∠BAO的度数.(直接写出结果)(2)当点P在AB上运动时,△OPQ的面积S与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分(如图②),求点P的运动速度.(3)求题(2)中面积S与时间t之间的函数关系式,及面积S取最大值时,点P的坐标.(4)如果点P,Q保持题(2)中的速度不变,当t取何值时,PO=PQ,请说明理由.30.如图,已知直线l:y=x+2与y轴交于点D,过直线l上一点E作EC丄y轴于点C,且C点坐标为(0,4),过C、E两点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧).(1)求抛物线的解析式:(2)动点Q从点C出发沿线段CE以1单位/秒的速度向终点E运动,过点Q作QF⊥ED于点F,交BD于点H,设点Q运动时间为t秒,△DFH的面积为S,求出S与t的函数关系式(并直接写出自变量t的取值范围);(3)若动点P为直线CE上方抛物线上一点,连接PE,过点E作EM⊥PE交线段BD于点M,当△PEM是等腰直角三角形时,求四边形PMBE的面积.31.已知在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0,且a,b,c为常数)的对称轴为:直线x=,与x轴分别交于点A、点B,与y轴交于点C(0,﹣),且过点(3,﹣5),D为x轴正半轴上的动点,E为y轴负半轴上的动点.(1)求该抛物线的表达式;(2)如图1,当点D为(3,0)时,DE交该抛物线于点M,若∠ADC=∠CDM,求点M的坐标;(3)如图2,把(1)中抛物线平移使其顶点与原点重合,若直线ED与新抛物线仅有唯一交点Q时,y轴上是否存在一个定点P使PE=PQ若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.  参考答案与试题解析 一.解答题(共31小题)1.(2017秋?上杭县期中)如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,OA=1,OC=4,抛物线y=x2+bx+c经过A,B两点.(1)求抛物线的解析式;(2)点E是直角△ABC斜边AB上一动点(点A、B除外),过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,当线段EF的长度最大时,求点E、F的坐标;(3)在(2)的条件下:在抛物线上是否存在一点P,使△EFP是以EF为直角边的直角三角形若存在,请求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.【考点】HF:二次函数综合题.【专题】151:代数综合题;32 :分类讨论.【分析】(1)根据AC=BC,求出BC的长,进而得到点A,B的坐标,利用待定系数法即可求得抛物线的解析式;(2)利用待定系数法求出直线AB的解析式,用含m的式表示出E,F的坐标,求出EF的长度最大时m的值,即可求得E,F的坐标;(3)分两种情况:∠E﹣90°和∠F=90°,分别得到点P的纵坐标,将纵坐标代入抛物线解析式,即可求得点P的值.【解答】解:(1)∵OA=1,OC=4,AC=BC,∴BC=5,∴A(﹣1,0),B(4,5),抛物线y=x2+bx+c经过A,B两点,∴,解得:,∴y=x2﹣2x﹣3;(2)设直线AB解析式为:y=kx+b,直线经过点A,B两点,∴,解得:,∴直线AB的解析式为:y=x+1,设点E的坐标为(m,m+1),则点F(m,m2﹣2m﹣3),∴EF=m+1﹣m2+2m+3=﹣m2+3m+4=﹣(m﹣)2+,∴当EF最大时,m=,∴点E(,),F(,);(3)存在.①当∠FEP=90°时,点P的纵坐标为,即x2﹣2x﹣3=,解得:x1=,x2=,∴点P1(,),P2(,),②当∠EFP=90°时,点P的纵坐标为,即x2﹣2x﹣3=,解得:x1=,x2=(舍去),∴点P3(,),综上所述,P1(,),P2(,),P3(,).【点评】本题主要考查二次函数的综合题,其中第(3)小题要注意分类讨论,分∠E=90°和∠F=90°两种情况. 2.(2017秋?鄂城区期中)如图,关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3),抛物线的对称轴与x轴交于点D.(1)求二次函数的表达式;(2)在y轴上是否存在一点P,使△PBC为等腰三角形若存在.请求出点P的坐标;(3)有一个点M从点A出发,以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动,另一个点N从 点D与点M同时出发,以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动,当点M到达点B时,点M、N同时停止运动,问点M、N运动到何处时,△MNB面积最大,试求出最大面积.【考点】HF:二次函数综合题.【专题】16 :压轴题.【分析】(1)代入A(1,0)和C(0,3),解方程组即可;(2)求出点B的坐标,再根据勾股定理得到BC,当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论:①CP=CB;②BP=BC;③PB=PC;(3)设AM=t则DN=2t,由AB=2,得BM=2﹣t,S△MNB=×(2﹣t)×2t=﹣t2+2t,运用二次函数的顶点坐标解决问题;此时点M在D点,点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处.【解答】解:(1)把A(1,0)和C(0,3)代入y=x2+bx+c,解得:b=﹣4,c=3,∴二次函数的表达式为:y=x2﹣4x+3;(2)令y=0,则x2﹣4x+3=0,解得:x=1或x=3,∴B(3,0),∴BC=3,点P在y轴上,当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论:如图1,①当CP=CB时,PC=3,∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3∴P1(0,3+3),P2(0,3﹣3);②当BP=BC时,OP=OB=3,∴P3(0,﹣3);③当PB=PC时,∵OC=OB=3∴此时P与O重合,∴P4(0,0);综上所述,点P的坐标为:(0,3+3)或(0,3﹣3)或(0,﹣3)或(0,0);(3)如图2,设A运动时间为t,由AB=2,得BM=2﹣t,则DN=2t,∴S△MNB=×(2﹣t)×2t=﹣t2+2t=﹣(t﹣1)2+1,即当M(2,0)、N(2,2)或(2,﹣2)时△MNB面积最大,最大面积是1.【点评】本题是二次函数的综合题型,其中涉及到运用待定系数法求二次函数,等腰三角形的性质,轴对称的性质等知识,运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键. 3.(2017?泸州)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(﹣1,0)、B(4,0)、C(0,2)三点.(1)求该二次函数的解析式;(2)点D是该二次函数图象上的一点,且满足∠DBA=∠CAO(O是坐标原点),求点D的坐标;(3)点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点,连接PA分别交BC、y轴于点E、F,若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2,求S1﹣S2的最大值.【考点】HF:二次函数综合题.【专题】16 :压轴题.【分析】(1)由A、B、C三点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;(2)当点D在x轴上方时,则可知当CD∥AB时,满足条件,由对称性可求得D点坐标;当点D在x轴下方时,可证得BD∥AC,利用AC的解析式可求得直线BD的解析式,再联立直线BD和抛物线的解析式可求得D点坐标;(3)过点P作PH∥y轴交直线BC于点H,可设出P点坐标,从而可表示出PH的长,可表示出△PEB的面积,进一步可表示出直线AP的解析式,可求得F点的坐标,联立直线BC和PA的解析式,可表示出E点横坐标,从而可表示出△CEF的面积,再利用二次函数的性质可求得S1﹣S2的最大值.【解答】解:(1)由题意可得,解得,∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2;(2)当点D在x轴上方时,过C作CD∥AB交抛物线于点D,如图1,∵A、B关于对称轴对称,C、D关于对称轴对称,∴四边形ABDC为等腰梯形,∴∠CAO=∠DBA,即点D满足条件,∴D(3,2);当点D在x轴下方时,∵∠DBA=∠CAO,∴BD∥AC,∵C(0,2),∴可设直线AC解析式为y=kx+2,把A(﹣1,0)代入可求得k=2,∴直线AC解析式为y=2x+2,∴可设直线BD解析式为y=2x+m,把B(4,0)代入可求得m=﹣8,∴直线BD解析式为y=2x﹣8,联立直线BD和抛物线解析式可得,解得或,∴D(﹣5,﹣18);综上可知满足条件的点D的坐标为(3,2)或(﹣5,﹣18);(3)过点P作PH∥y轴交直线BC于点H,如图2,设P(t,﹣t2+t+2),由B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式为y=﹣x+2,∴H(t,﹣t+2),∴PH=yP﹣yH=﹣t2+t+2﹣(﹣t+2)=﹣t2+2t,设直线AP的解析式为y=px+q,∴,解得,∴直线AP的解析式为y=(﹣t+2)(x+1),令x=0可得y=2﹣t,∴F(0,2﹣t),∴CF=2﹣(2﹣t)=t,联立直线AP和直线BC解析式可得,解得x=,即E点的横坐标为,∴S1=PH(xB﹣xE)=(﹣t2+2t)(4﹣),S2=??,∴S1﹣S2=(﹣t2+2t)(4﹣)﹣??=﹣t2+4t=﹣(t﹣)2+,∴当t=时,有S1﹣S2有最大值,最大值为.【点评】本题为二次函数的综合应用,涉及待定系数法、平行线的判定和性质、三角形的面积、二次函数的性质、方程思想伋分类讨论思想等知识.在(1)中注意待定系数法的应用,在(2)中确定出D点的位置是解题的关键,在(3)中用P点的坐标分别表示出两个三角形的面积是解题的关键.本题考查知识点较多,综合性较强,计算量大,难度较大. 4.(2017?南充)如图1,已知二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的图象过点O(0,0)和点A(4,0),函数图象最低点M的纵坐标为﹣,直线l的解析式为y=x.(1)求二次函数的解析式;(2)直线l沿x轴向右平移,得直线l′,l′与线段OA相交于点B,与x轴下方的抛物线相交于点C,过点C作CE⊥x轴于点E,把△BCE沿直线l′折叠,当点E恰好落在抛物线上点E′时(图2),求直线l′的解析式;(3)在(2)的条件下,l′与y轴交于点N,把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′,P为l′上的动点,当△PB′N′为等腰三角形时,求符合条件的点P的坐标.【考点】HF:二次函数综合题.【专题】16 :压轴题.【分析】(1)由题意抛物线的顶点坐标为(2,﹣),设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)2﹣,把(0,0)代入得到a=,即可解决问题;(2)如图1中,设E(m,0),则C(m,m2﹣m),B(﹣m2+m,0),由E、B关于对称轴对称,可得=2,由此即可解决问题;(3)分两种情形求解即可①当P1与N重合时,△P1B′N′是等腰三角形,此时P1(0,﹣3).②当N′=N′B′时,设P(m,m﹣3),列出方程解方程即可;【解答】解:(1)由题意抛物线的顶点坐标为(2,﹣),设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)2﹣,把(0,0)代入得到a=,∴抛物线的解析式为y=(x﹣2)2﹣,即y=x2﹣x.(2)如图1中,设E(m,0),则C(m,m2﹣m),B(﹣m2+m,0),∵E′在抛物线上,易知四边形EBE′C是正方形,抛物线的对称轴也是正方形的对称轴,∴E、B关于对称轴对称,∴=2,解得m=1或6(舍弃),∴B(3,0),C(1,﹣2),∴直线l′的解析式为y=x﹣3.(3)如图2中,①当P1与N重合时,△P1B′N′是等腰三角形,此时P1(0,﹣3).②当N′=N′B′时,设P(m,m﹣3),则有(m﹣)2+(m﹣3﹣)2=(3)2,解得m=或,∴P2(,),P3(,).综上所述,满足条件的点P坐标为(0,﹣3)或(,)或(,).【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、两点间距离公式等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会根据方程,属于中考压轴题. 5.(2017?宜宾)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A(﹣1,0),B(5,0)两点.(1)求抛物线的解析式;(2)在第二象限内取一点C,作CD垂直X轴于点D,链接AC,且AD=5,CD=8,将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位,当点C落在抛物线上时,求m的值;(3)在(2)的条件下,当点C第一次落在抛物线上记为点E,点P是抛物线对称轴上一点.试探究:在抛物线上是否存在点Q,使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形若存在,请出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【考点】HF:二次函数综合题.【专题】16 :压轴题.【分析】(1)由A、B的坐标,利用待定系数法可求得抛物线的解析式;(2)由题意可求得C点坐标,设平移后的点C的对应点为C′,则C′点的纵坐标为8,代入抛物线解析式可求得C′点的坐标,则可求得平移的单位,可求得m的值;(3)由(2)可求得E点坐标,连接BE交对称轴于点M,过E作EF⊥x轴于点F,当BE为平行四边形的边时,过Q作对称轴的垂线,垂足为N,则可证得△PQN≌△EFB,可求得QN,即可求得Q到对称轴的距离,则可求得Q点的横坐标,代入抛物线解析式可求得Q点坐标;当BE为对角线时,由B、E的坐标可求得线段BE的中点坐标,设Q(x,y),由P点的横坐标则可求得Q点的横坐标,代入抛物线解析式可求得Q点的坐标.【解答】解:(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A(﹣1,0),B(5,0)两点,∴,解得,∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5;(2)∵AD=5,且OA=1,∴OD=6,且CD=8,∴C(﹣6,8),设平移后的点C的对应点为C′,则C′点的纵坐标为8,代入抛物线解析式可得8=﹣x2+4x+5,解得x=1或x=3,∴C′点的坐标为(1,8)或(3,8),∵C(﹣6,8),∴当点C落在抛物线上时,向右平移了7或9个单位,∴m的值为7或9;(3)∵y=﹣x2+4x+5=﹣(x﹣2)2+9,∴抛物线对称轴为x=2,∴可设P(2,t),由(2)可知E点坐标为(1,8),①当BE为平行四边形的边时,连接BE交对称轴于点M,过E作EF⊥x轴于点F,过Q作对称轴的垂线,垂足为N,如图,则∠BEF=∠BMP=∠QPN,在△PQN和△EFB中∴△PQN≌△EFB(AAS),∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4,设Q(x,y),则QN=|x﹣2|,∴|x﹣2|=4,解得x=﹣2或x=6,当x=﹣2或x=6时,代入抛物线解析式可求得y=﹣7,∴Q点坐标为(﹣2,﹣7)或(6,﹣7);②当BE为对角线时,∵B(5,0),E(1,8),∴线段BE的中点坐标为(3,4),则线段PQ的中点坐标为(3,4),设Q(x,y),且P(2,t),∴x+2=3×2,解得x=4,把x=4代入抛物线解析式可求得y=5,∴Q(4,5);综上可知Q点的坐标为(﹣2,﹣7)或(6,﹣7)或(4,5).【点评】本题为二次函数的综合应用,涉及待定系数法、平移的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识.在(1)注意待定系数法的应用,在(2)中求得平移后C点的对应点的坐标是解题的关键,在(3)中确定出Q点的位置是解题的关键.本题考查知识点较多,综合性较强,难度适中. 6.(2017?沈阳)如图1,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,抛物线y=﹣x2﹣x+8与x轴正半轴交于点A,与y轴交于点B,连接AB,点M,N分别是OA,AB的中点,Rt△CDE≌Rt△ABO,且△CDE始终保持边ED经过点M,边CD经过点N,边DE与y轴交于点H,边CD与y轴交于点G.(1)填空:OA的长是 8 ,∠ABO的度数是 30 度;(2)如图2,当DE∥AB,连接HN.①求证:四边形AMHN是平行四边形;②判断点D是否在该抛物线的对称轴上,并说明理由;(3)如图3,当边CD经过点O时,(此时点O与点G重合),过点D作DQ∥OB,交AB延长线上于点Q,延长ED到点K,使DK=DN,过点K作KI∥OB,在KI上取一点P,使得∠PDK=45°(点P,Q在直线ED的同侧),连接PQ,请直接写出PQ的长.【考点】HF:二次函数综合题.【专题】16 :压轴题.【分析】(1)先求抛物线与两坐标轴的交点坐标,表示OA和OB的长,利用正切值可得∠ABO=30°;(2)①根据三角形的中位线定理证明HN∥AM,由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得结论;②如图1,作垂线段DR,根据直角三角形30度角的性质求DR=2,可知:点D的横坐标为﹣2,由抛物线的解析式可计算对称轴是直线:x=﹣=﹣2,所以点D在该抛物线的对称轴上;(3)想办法求出P、Q的坐标即可解决问题;【解答】解:(1)当x=0时,y=8,∴B(0,8),∴OB=8,当y=0时,y=﹣x2﹣x+8=0,x2+4x﹣96=0,(x﹣8)(x+12)=0,x1=8,x2=﹣12,∴A(8,0),∴OA=8,在Rt△AOB中,tan∠ABO===,∴∠ABO=30°,故答案为:8,30;(2)①证明:∵DE∥AB,∴,∵OM=AM,∴OH=BH,∵BN=AN,∴HN∥AM,∴四边形AMHN是平行四边形;②点D在该抛物线的对称轴上,理由是:如图1,过点D作DR⊥y轴于R,∵HN∥OA,∴∠NHB=∠AOB=90°,∵DE∥AB,∴∠DHB=∠OBA=30°,∵Rt△CDE≌Rt△ABO,∴∠HDG=∠OBA=30°,∴∠HGN=2∠HDG=60°,∴∠HNG=90°﹣∠HGN=90°﹣60°=30°,∴∠HDN=∠HND,∴DH=HN=OA=4,∴Rt△DHR中,DR=DH==2,∴点D的横坐标为﹣2,∵抛物线的对称轴是直线:x=﹣=﹣=﹣2,∴点D在该抛物线的对称轴上;(3)如图3中,连接PQ,作DR⊥PK于R,在DR上取一点T,使得PT=DT.设PR=a.∵NA=NB,∴HO=NA=NB,∵∠ABO=30°,∴∠BAO=60°,∴△AON是等边三角形,∴∠NOA=60°=∠ODM+∠OMD,∵∠ODM=30°,∴∠OMD=∠ODM=30°,∴OM=OD=4,易知D(﹣2,﹣2),Q(﹣2,10),∵N(4,4),∴DK=DN==12,∵DR∥x轴,,∴∠KDR=∠OMD=30°∴RK=DK=6,DR=6,∵∠PDK=45°,∴∠TDP=∠TPD=15°,∴∠PTR=∠TDP+∠TPD=30°,∴TP=TD=2a,TR=a,∴a+2a=6,∴a=12﹣18,可得P(﹣2﹣6,10﹣18),∴PQ==12.【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、锐角三角函数、30度角的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴题. 7.(2017?宁波)如图,抛物线y=x2+x+c与x轴的负半轴交于点A,与y轴交于点B,连结AB,点C(6,)在抛物线上,直线AC与y轴交于点D.(1)求c的值及直线AC的函数表达式;(2)点P在x轴正半轴上,点Q在y轴正半轴上,连结PQ与直线AC交于点M,连结MO并延长交AB于点N,若M为PQ的中点.①求证:△APM∽△AON;②设点M的横坐标为m,求AN的长(用含m的代数式表示).【考点】HF:二次函数综合题.【专题】16 :压轴题.【分析】(1)把C点坐标代入抛物线解析式可求得c的值,令y=0可求得A点坐标,利用待定系数法可求得直线AC的函数表达式;(2)①在Rt△AOB和Rt△AOD中可求得∠OAB=∠OAD,在Rt△OPQ中可求得MP=MO,可求得∠MPO=∠MOP=∠AON,则可证得△APM∽△AON;②过M作ME⊥x轴于点E,用m可表示出AE和AP,进一步可表示出AM,利用△APM∽△AON可表示出AN.【解答】解:(1)把C点坐标代入抛物线解析式可得=9++c,解得c=﹣3,∴抛物线解析式为y=x2+x﹣3,令y=0可得x2+x﹣3=0,解得x=﹣4或x=3,∴A(﹣4,0),设直线AC的函数表达式为y=kx+b(k≠0),把A、C坐标代入可得,解得,∴直线AC的函数表达式为y=x+3;(2)①∵在Rt△AOB中,tan∠OAB==,在RtAOD中,tan∠OAD==,∴∠OAB=∠OAD,∵在Rt△POQ中,M为PQ的中点,∴OM=MP,∴∠MOP=∠MPO,且∠MOP=∠AON,∴∠APM=∠AON,∴△APM∽△AON;②如图,过点M作ME⊥x轴于点E,则OE=EP,∵点M的横坐标为m,∴AE=m+4,AP=2m+4,∵tan∠OAD=,∴cos∠EAM=cos∠OAD=,∴=,∴AM=AE=,∵△APM∽△AON,∴=,即=,∴AN=.【点评】本题为二次函数的综合应用,涉及待定系数法、三角函数的定义、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质及方程思想等知识.在(1)中注意函数图象上的点的坐标满足函数解析式,以及待定系数法的应用,在(2)①中确定出两对对应角相等是解题的关键,在(2)②中用m表示出AP的长是解题的关键,注意利用相似三角形的性质.本题考查知识点较多,综合性较强,难度较大. 8.(2017?自贡)抛物线y=4x2﹣2ax+b与x轴相交于A(x1,0),B(x2,0)(0<x1<x2)两点,与y轴交于点C.(1)设AB=2,tan∠ABC=4,求该抛物线的解析式;(2)在(1)中,若点D为直线BC下方抛物线上一动点,当△BCD的面积最大时,求点D的坐标;(3)是否存在整数a,b使得1<x1<2和1<x2<2同时成立,请证明你的结论.【考点】HF:二次函数综合题.【专题】16 :压轴题.【分析】(1)由tan∠ABC=4,可以假设B(m,0),则A(m﹣2,0),C(0,4m),可得抛物线的解析式为y=4(x﹣m)(x﹣m+2),把C(0,4m)代入y=4(x﹣m)(x﹣m+2),求出m的值即可解决问题;(2)设P(m,4m2﹣16m+12).作PH∥OC交BC于H,根据S△PBC=S△PHC+S△PHB构建二次函数,利用二次函数的性质解决问题;(3)不存在.假设存在,由题意由题意可知,且1<﹣<2,首先求出整数a的值,代入不等式组,解不等式组即可解决问题.【解答】解:(1)∵tan∠ABC=4∴可以假设B(m,0),则A(m﹣2,0),C(0,4m),∴可以假设抛物线的解析式为y=4(x﹣m)(x﹣m+2),把C(0,4m)代入y=4(x﹣m)(x﹣m+2),得m=3,∴抛物线的解析式为y=4(x﹣3)(x﹣1),∴y=4x2﹣16x+12,(2)如图,设D(m,4m2﹣16m+12).作DH∥OC交BC于H.∵B(3,0),C(0,12),∴直线BC的解析式为y=﹣4x+12,∴H(m,﹣4m+12),∴S△DBC=S△DHC+S△DHB=?(﹣4m+12﹣4m2+16m﹣12)?3=﹣6(m﹣)2+,∵﹣6<0,∴m=时,△DBC面积最大,此时D(,﹣3).(3)不存在.理由:假设存在.由题意可知,且1<﹣<2,∴4<a<8,∵a是整数,∴a=5 或6或7,当a=5时,代入不等式组,不等式组无解.当a=6时,代入不等式组,不等式组无解.当a=7时,代入不等式组,不等式组无解.综上所述,不存在整数a、b,使得1<x1<2和1<x2<2同时成立.【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、三角形的面积,不等式组等整数,解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式,学会构建二次函数,利用二次函数的性质解决问题,学会利用不等式组解决问题,属于中考压轴题. 9.(2017?日照模拟)如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),直线l与抛物线交于A,C两点,其中点C的横坐标为2.(1)求A,B两点的坐标及直线AC的函数表达式;(2)P是线段AC上的一个动点(P与A,C不重合),过P点作y轴的平行线交抛物线于点E,求△ACE面积的最大值;(3)若直线PE为抛物线的对称轴,抛物线与y轴交于点D,直线AC与y轴交于点Q,点M为直线PE上一动点,则在x轴上是否存在一点N,使四边形DMNQ的周长最小若存在,求出这个最小值及点M,N的坐标;若不存在,请说明理由.(4)点H是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、H四个点为顶点的四边形是平行四边形如果存在,请直接写出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由.【考点】HF:二次函数综合题.【专题】16 :压轴题.【分析】(1)令抛物线y=x2﹣2x﹣3=0,求出x的值,即可求A,B两点的坐标,根据两点式求出直线AC的函数表达式;(2)设P点的横坐标为x(﹣1≤x≤2),求出P、E的坐标,用x表示出线段PE的长,求出PE的最大值,进而求出△ACE的面积最大值;(3)根据D点关于PE的对称点为点C(2,﹣3),点Q(0,﹣1)点关于x轴的对称点为M(0,1),则四边形DMNQ的周长最小,求出直线CM的解析式为y=﹣2x+1,进而求出最小值和点M,N的坐标;(4)结合图形,分两类进行讨论,①CF平行x轴,如图1,此时可以求出F点两个坐标;②CF不平行x轴,如题中的图2,此时可以求出F点的两个坐标.【解答】解:(1)令y=0,解得x1=﹣1或x2=3,∴A(﹣1,0),B(3,0);将C点的横坐标x=2代入y=x2﹣2x﹣3得y=﹣3,∴C(2,﹣3),∴直线AC的函数解析式是y=﹣x﹣1,(2)设P点的横坐标为x(﹣1≤x≤2),则P、E的坐标分别为:P(x,﹣x﹣1),E(x,x2﹣2x﹣3),∵P点在E点的上方,PE=(﹣x﹣1)﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣x2+x+2,∴当x=时,PE的最大值=,△ACE的面积最大值=PE[2﹣(﹣1)]=PE=,(3)D点关于PE的对称点为点C(2,﹣3),点Q(0,﹣1)点关于x轴的对称点为K(0,1),连接CK交直线PE于M点,交x轴于N点,可求直线CK的解析式为y=﹣2x+1,此时四边形DMNQ的周长最小,最小值=|CM|+QD=2+2,求得M(1,﹣1),N(,0).(4)存在如图1,若AF∥CH,此时的D和H点重合,CD=2,则AF=2,于是可得F1(1,0),F2(﹣3,0),如图2,根据点A和F的坐标中点和点C和点H的坐标中点相同,再根据|HA|=|CF|,求出F4(4﹣,0),F3.综上所述,满足条件的F点坐标为F1(1,0),F2(﹣3,0),F3,F4(4﹣,0).【点评】本题主要考查二次函数的综合题的知识点,解答本题的关键是熟练掌握对称的知识和分类讨论解决问题的思路,此题难度较大. 10.(2017?黄冈模拟)如图,Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中,直角边OA与x轴重合,∠OAB=90°,OA=4,AB=2,把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°,点B旋转到点C的位置,一条抛物线正好经过点O,C,A三点.(1)求该抛物线的解析式;(2)在x轴上方的抛物线上有一动点P,过点P作x轴的平行线交抛物线于点M,分别过点P,点M作x轴的垂线,交x轴于E,F两点,问:四边形PEFM的周长是否有最大值如果有,请求出最值,并写出解答过程;如果没有,请说明理由.(3)如果x轴上有一动点H,在抛物线上是否存在点N,使O(原点)、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形若存在,求出N点的坐标;若不存在,请说明理由.【考点】HF:二次函数综合题.【专题】16 :压轴题.【分析】(1)根据旋转的性质可求出C的坐标和A的坐标,又因为抛物线经过原点,故设y=ax2+bx把(2,4),(4,0)代入,求出a和b的值即可求出该抛物线的解析式;(2)四边形PEFM的周长有最大值,设点P的坐标为P(a,﹣a2+4a)则由抛物线的对称性知OE=AF,所以EF=PM=4﹣2a,PE=MF=﹣a2+4a,则矩形PEFM的周长L=2[4﹣2a+(﹣a2+4a)]=﹣2(a﹣1)2+10,利用函数的性质即可求出四边形PEFM的周长的最大值;(3)在抛物线上存在点N,使O(原点)、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形,由(1)可求出抛物线的顶点坐标,过点C作x轴的平行线,与x轴没有其它交点,过y=﹣4作x轴的平行线,与抛物线有两个交点,这两个交点为所求的N点坐标所以有﹣x2+4x=﹣4,解方程即可求出交点坐标.【解答】解:(1)因为OA=4,AB=2,把△AOB绕点O逆时针旋转90°,可以确定点C的坐标为(2,4);由图可知点A的坐标为(4,0),又因为抛物线经过原点,故设y=ax2+bx把(2,4),(4,0)代入,得,解得所以抛物线的解析式为y=﹣x2+4x;(2)四边形PEFM的周长有最大值,理由如下:由题意,如图所示,设点P的坐标为P(a,﹣a2+4a)则由抛物线的对称性知OE=AF,∴EF=PM=4﹣2a,PE=MF=﹣a2+4a,则矩形PEFM的周长L=2[4﹣2a+(﹣a2+4
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